Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$ ; $[- 4, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.7.3

Mueve ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Paso 1.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 1.1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 1.1.1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Paso 1.1.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 1.1.1.11.2

Multiplica $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ como ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Divide cada término en $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2.1.2

Divide ${(x + 4)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3.2

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.3.3.3.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.4

Evalúa $\sqrt[3]{x + 4}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Paso 1.4.1.2.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.4.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(- 4, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\sqrt[3]{(4) + 4}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Suma $4$ y $4$ .

$\sqrt[3]{8}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Paso 2.2.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$2$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 4, 0), (4, 2)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 4, 0)$

Paso 4