Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $| x | + 2 | 1 - x |$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 | 1 - x |$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 1.1.1.3.2.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 1.1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 1.1.1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 1.1.1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.1.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Paso 1.1.1.3.8

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Paso 1.1.1.3.9

Combina $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ y $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.1.3.10

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.1.3.11

Reescribe $- 1 (1 - x)$ como $- (1 - x)$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Paso 1.1.1.3.13

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.1.3.14

Combina $- 2$ y $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.1.3.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

Paso 1.2.2

Resta $\frac{x}{| x |}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$| 1 - x |, | x |$

Paso 1.2.3.2

Como $| 1 - x |, | x |$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ .

Paso 1.2.3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.2.3.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.3.5

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.2.3.6

El factor para ${| 1 - x |}^{1}$ es $| 1 - x |$ en sí mismo.

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.2.3.7

El factor para ${| x |}^{1}$ es $| x |$ en sí mismo.

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.2.3.8

El MCM de ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$| 1 - x | | x |$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ por $| 1 - x | | x |$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ por $| 1 - x | | x |$ .

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $| 1 - x |$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ al numerador.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.1.2

Factoriza $| 1 - x |$ de $| 1 - x | | x |$ .

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 1.2.4.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{| x |}$ al numerador.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Paso 1.2.4.3.1.2

Factoriza $| x |$ de $| 1 - x | | x |$ .

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Paso 1.2.4.3.1.3

Cancela el factor común.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Paso 1.2.4.3.1.4

Reescribe la expresión.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

Paso 1.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Reescribe la ecuación como $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ .

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

Paso 1.2.5.2

Divide cada término en $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.1

Divide cada término en $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ por $- x$ .

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.2.2.2

Divide $| 1 - x |$ por $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.3.1.2.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 | x |}{- 1}$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

Paso 1.2.5.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (2 | x |)$ como $- (2 | x |)$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

Paso 1.2.5.2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

Paso 1.2.6

Resuelve $| x |$

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Paso 1.2.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ .

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

Paso 1.2.6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, 1$

Paso 1.2.6.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 1.2.6.3

Multiplica cada término en $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.6.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ por $x$ .

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.6.4.1

Factoriza $2 | x |$ de $2 | x | - 2 | x | x$ .

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Paso 1.2.6.4.1.1

Factoriza $2 | x |$ de $2 | x |$ .

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.4.1.2

Factoriza $2 | x |$ de $- 2 | x | x$ .

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.4.1.3

Factoriza $2 | x |$ de $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ .

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

Paso 1.2.6.4.3

Divide cada término en $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ por $2 (1 - x)$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.4.3.1

Divide cada término en $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ por $2 (1 - x)$ .

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Paso 1.2.6.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Paso 1.2.6.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Paso 1.2.6.4.3.2.2

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.2.6.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Paso 1.2.6.4.3.2.2.2

Divide $| x |$ por $1$ .

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Paso 1.2.7

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Paso 1.2.8

El resultado consta de las partes positiva y negativa de $\pm$ .

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Paso 1.2.9

Resuelve $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ en $x$ .

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Paso 1.2.9.1

Resuelve $| 1 - x |$

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Paso 1.2.9.1.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

Paso 1.2.9.1.2

Multiplica ambos lados por $2 (1 - x)$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3

Simplifica.

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Paso 1.2.9.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.9.1.3.1.1

Simplifica $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ .

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Paso 1.2.9.1.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3.1.1.3

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

Paso 1.2.9.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.9.1.3.2.1

Simplifica $x (2 (1 - x))$ .

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Paso 1.2.9.1.3.2.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.9.1.3.2.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.9.1.3.2.1.2.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

Mueve $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

Paso 1.2.9.1.3.2.1.3

Reordena $2 x$ y $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

Paso 1.2.9.1.4

Divide cada término en $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.2.9.1.4.1

Divide cada término en $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ por $x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.9.1.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.2.1.2

Divide $| 1 - x |$ por $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.9.1.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Divide $- 2 x$ por $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Paso 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

Paso 1.2.9.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

Paso 1.2.9.3

El resultado consta de las partes positiva y negativa de $\pm$ .

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

Paso 1.2.9.4

Resuelve $1 - x = - 2 x + 2$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.4.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$1 - x + 2 x = 2$

Paso 1.2.9.4.1.2

Suma $- x$ y $2 x$ .

$1 + x = 2$

Paso 1.2.9.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.9.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 2 - 1$

Paso 1.2.9.4.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$x = 1$

Paso 1.2.9.5

Consolida las soluciones.

$x = 1$

Paso 1.2.10

Obtén el dominio de $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

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Paso 1.2.10.1

Establece el denominador en $\frac{x}{| x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | = 0$

Paso 1.2.10.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.10.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Paso 1.2.10.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.10.3

Establece el denominador en $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 1 - x | = 0$

Paso 1.2.10.4

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.10.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Paso 1.2.10.4.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 1.2.10.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 1.2.10.4.4

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.10.4.4.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.10.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.10.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.10.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.10.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.10.4.4.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 1.2.10.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 1.2.11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 1.2.12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.2.12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

Paso 1.2.12.1.3

$- 3$ del lado izquierdo no es igual a $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.2.12.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.12.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 1.2.12.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

Paso 1.2.12.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es igual a $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.2.12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

Paso 1.2.12.3.3

$3$ del lado izquierdo no es igual a $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 1.2.12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Paso 1.2.13

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{x}{| x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3.3

Establece el denominador en $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 1 - x | = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $x$

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Paso 1.3.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Paso 1.3.4.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 1.3.4.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 1.3.4.4

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.4.4.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.4.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 1.3.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 0, x = 1$

Paso 1.4

Evalúa $| x | + 2 | 1 - x |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0 + 2 | 1 - (0) |$

Paso 1.4.1.2.1.2

Resta $0$ de $1$ .

$0 + 2 | 1 |$

Paso 1.4.1.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$1 + 2 | 1 - (1) |$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + 2 | 1 - 1 |$

Paso 1.4.2.2.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$1 + 2 | 0 |$

Paso 1.4.2.2.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$1 + 2 \cdot 0$

Paso 1.4.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 2), (1, 1)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 2$ y $0$ es $2$ .

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 + 2 | 1 + 2 |$

Paso 2.1.2.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 + 2 | 3 |$

Paso 2.1.2.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$2 + 2 \cdot 3$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 + 6$

Paso 2.1.2.2

Suma $2$ y $6$ .

$8$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$2 + 2 | 1 - (2) |$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 + 2 | 1 - 2 |$

Paso 2.2.2.1.3

Resta $2$ de $1$ .

$2 + 2 | - 1 |$

Paso 2.2.2.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Paso 2.2.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$4$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 8), (2, 4)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 8)$

Mínimo absoluto: $(1, 1)$

Paso 4