Cálculo Ejemplos

$g (x) = 4 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 6$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.1.1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Paso 1.1.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Paso 1.1.1.5.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Paso 1.1.1.5.3

Reordena los términos.

$- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Paso 1.1.1.5.4

Reordena los factores en $- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4 x^{2} e^{- x}$ de $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4 x^{2} e^{- x}$ de $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4 x^{2} e^{- x}$ de $12 x^{2} e^{- x}$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4 x^{2} e^{- x}$ de $4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3)$ .

$4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 1.2.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 1.2.5.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 1.2.6

Establece $- x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $- x + 3$ igual a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $- x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 1.2.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $4 x^{3} e^{- x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$4 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- (0)}$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0}$

Paso 1.4.1.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$4 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 27 e^{- (3)}$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$108 e^{- (3)}$

Paso 1.4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$108 e^{- 3}$

Paso 1.4.2.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$108 \frac{1}{e^{3}}$

Paso 1.4.2.2.5

Combina $108$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{108}{e^{3}}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (3, \frac{108}{e^{3}})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 e^{- (- 1)}$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 e^{1}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

$- 4 e$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 6$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 216 e^{- (6)}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $4$ por $216$ .

$864 e^{- (6)}$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$864 e^{- 6}$

Paso 2.2.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$864 \frac{1}{e^{6}}$

Paso 2.2.2.5

Combina $864$ y $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{864}{e^{6}}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - 4 e), (6, \frac{864}{e^{6}})$

Paso 3

Compara los valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, \frac{108}{e^{3}})$

Mínimo absoluto: $(- 1, - 4 e)$

Paso 4