Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ , $[- 2, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 4 x + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $x^{2} - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 4 x$ .

$x^{2} - 4 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 4 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Paso 1.4.1.2.1.2

Divide $0$ por $3$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 4$

Paso 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 4$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 + 0 + 4$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 4$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.2.2.1.1

Escribe $- 2 {(4)}^{2}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} + 4$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + 4$

Paso 1.4.2.2.1.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Paso 1.4.2.2.1.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64 - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64 - 2 \cdot 16 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3.3

Multiplica $- 2 \cdot 16 \cdot 3$ .

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Paso 1.4.2.2.3.3.1

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$\frac{64 - 32 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3.3.2

Multiplica $- 32$ por $3$ .

$\frac{64 - 96 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 1.4.2.2.3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{64 - 96 + 12}{3}$

Paso 1.4.2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.4.1

Resta $96$ de $64$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Paso 1.4.2.2.4.2

Suma $- 32$ y $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Paso 1.4.2.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{3}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 4), (4, - \frac{20}{3})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 4)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.3.1

Multiplica $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} + 4$

Paso 3.1.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 4$

Paso 3.1.2.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{3} + 4$

Paso 3.1.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{8}{3} - 8 + 4$

Paso 3.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.2.2.1

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 4$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 4$

Paso 3.1.2.2.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Paso 3.1.2.2.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.1.2.2.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 12}{3}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.5.1

Resta $24$ de $- 8$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $- 32$ y $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Paso 3.1.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20}{3}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Paso 3.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 4$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - 2 + 4$

Paso 3.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.2.1

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 4$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Paso 3.2.2.2.3

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 4$

Paso 3.2.2.2.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Paso 3.2.2.2.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.2.2.2.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.4.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{1 - 6 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 3.2.2.4.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1 - 6 + 12}{3}$

Paso 3.2.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.5.1

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{- 5 + 12}{3}$

Paso 3.2.2.5.2

Suma $- 5$ y $12$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - \frac{20}{3}), (1, \frac{7}{3})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 4)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - \frac{20}{3})$

Paso 5