Cálculo Ejemplos

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - | t - 2 |$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Paso 1.1.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- | t - 2 |$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = | t |$ y $g (t) = t - 2$ .

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Paso 1.1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Paso 1.1.1.2.2.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Paso 1.1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Paso 1.1.1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Paso 1.1.1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Paso 1.1.1.2.7

Multiplica $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ por $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Paso 1.1.1.3

Resta $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ de $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$t - 2 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 2$

Paso 1.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| t - 2 | = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $t$

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Paso 1.3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Paso 1.3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$t - 2 = 0$

Paso 1.3.2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 2$

Paso 1.4

Evalúa $2 - | t - 2 |$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $t = 2$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $2$ por $t$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Resta $2$ de $2$ .

$2 - | 0 |$

Paso 1.4.1.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$2 - 0$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(2, 2)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $t = - 8$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 8$ por $t$ .

$2 - | (- 8) - 2 |$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Resta $2$ de $- 8$ .

$2 - | - 10 |$

Paso 2.1.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 10$ y $0$ es $10$ .

$2 - 1 \cdot 10$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$2 - 10$

Paso 2.1.2.2

Resta $10$ de $2$ .

$- 8$

Paso 2.2

Evalúa en $t = 3$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $3$ por $t$ .

$2 - | (3) - 2 |$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Resta $2$ de $3$ .

$2 - | 1 |$

Paso 2.2.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Paso 2.2.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$1$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 8, - 8), (3, 1)$

Paso 3

Compara los valores de $f (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (t)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (t)$ .

Máximo absoluto: $(2, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 8, - 8)$

Paso 4