Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 4 x$ , $[2, 6)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - 4 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 4$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 x = 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{2} - 4 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 - 4 \cdot 2$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 - 8$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(2, - 4)$

Paso 2

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2, - 4)$

Paso 4