Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan^{-1} (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\tan^{-1} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Paso 1.1.1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Paso 1.1.1.2.3.2

Combina $\frac{2}{1 + x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Paso 1.1.1.2.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\tan^{-1} (x^{2})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Paso 1.4.1.2.2

El valor exacto de $\tan^{-1} (0)$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Paso 2.2.2.2

Evalúa $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 4