Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $4 + x$ por $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina los términos opuestos en $4 + x - x - - 3$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$7 = 0$

Paso 1.2.3

Como $7 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.3.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x - 3}{4 + x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Paso 1.4.1.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 4$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Paso 2.1.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Paso 2.1.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Paso 2.2.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Paso 2.2.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Paso 2.2.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - \frac{2}{5})$

Paso 3

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, - \frac{2}{5})$

Sin mínimo absoluto

Paso 5