Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{8}$ at the point $(2, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = x^{3} - 4 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 4 x$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Paso 1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$8 {(x^{3} - 4 x)}^{7} (3 x^{2} - 4)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$8 {({(2)}^{3} - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(8 - 4 \cdot 2)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 {(8 - 8)}^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$8 \cdot 0^{7} (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$8 \cdot 0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4.2.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 (3 {(2)}^{2} - 4)$

Paso 1.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 (3 \cdot 4 - 4)$

Paso 1.4.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$0 (12 - 4)$

Paso 1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.4.1

Resta $4$ de $12$ .

$0 \cdot 8$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $0$ por $8$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(2, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 0 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 0 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 0 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.2

Multiplica $0$ por $x - 2$ .

$y = 0$

Paso 3