Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x)$ , $(0, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x})$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$- 4 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x)$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- 4 e^{0} \sin (0) + 4 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 4 \cdot 1 \sin (0) + 4 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4 \sin (0) + 4 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 4 \cdot 0 + 4 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 4 e^{0} \cos (0)$

Paso 1.7.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 \cos (0)$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 + 4 \cos (0)$

Paso 1.7.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Paso 1.7.1.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$0 + 4$

Paso 1.7.2

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $4$ y un punto dado $(0, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 4 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 4 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 4 = 4 x$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x + 4$

Paso 3