Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1 + x}{2 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = \frac{1}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + x$ y $g (x) = 2 + e^{x}$ .

$\frac{(2 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $2 + e^{x}$ por $1$ .

$\frac{2 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [2 + e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2

Reescribe $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{2 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Combina los términos opuestos en $2 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ .

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Paso 1.4.3.2.1

Resta $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{2 + 0 - x e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.3.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 - x e^{x}}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} x + 2}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.5

Factoriza $- 1$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{- (e^{x} x) + 2}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.6

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 2)}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.7

Factoriza $- 1$ de $- (e^{x} x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (e^{x} x - 2)}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.8

Reescribe $- (e^{x} x - 2)$ como $- 1 (e^{x} x - 2)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} x - 2)}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{x} x - 2}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.4.10

Reordena los factores en $- \frac{e^{x} x - 2}{{(2 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{x e^{x} - 2}{{(2 + e^{x})}^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 2}{{(2 + e^{0})}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{0 \cdot 1 - 2}{{(2 + e^{0})}^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$- \frac{0 - 2}{{(2 + e^{0})}^{2}}$

Paso 1.6.1.3

Resta $2$ de $0$ .

$- \frac{- 2}{{(2 + e^{0})}^{2}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{- 2}{{(2 + 1)}^{2}}$

Paso 1.6.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{- 2}{3^{2}}$

Paso 1.6.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{- 2}{9}$

Paso 1.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2}{9}$

Paso 1.6.4

Multiplica $- - \frac{2}{9}$ .

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Paso 1.6.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{9})$

Paso 1.6.4.2

Multiplica $\frac{2}{9}$ por $1$ .

$\frac{2}{9}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{9}$ y un punto dado $(0, \frac{1}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Combina $\frac{2}{9}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Paso 3