Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{1}{x}$ ; $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = - \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3

Multiplica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.2.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{1}{{(2)}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{1}{4}$ y un punto dado $(2, - \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 3.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 - 1}{2}$

Paso 3.3.2.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{2}$

Paso 3.3.2.4

Divide $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{x}{4} - 1$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} x - 1$

Paso 4