Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - \frac{3}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{- 6}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.2.7.2.4

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $- 3 x + 4$ y $0$ .

$- 3 x + 4$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$3 + 4$

Paso 1.6.2

Suma $3$ y $4$ .

$7$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $7$ y un punto dado $(- 1, - \frac{3}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $7 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $3$ de $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

Paso 3