Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x - 2 x^{2}$ at $(- 1, - 7)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 - 2 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$5 - 4 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 4 x + 5$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 4 \cdot - 1 + 5$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 + 5$

Paso 1.6.2

Suma $4$ y $5$ .

$9$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $9$ y un punto dado $(- 1, - 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = 9 \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 7 = 9 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $9 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 7 = 0 + 0 + 9 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 7 = 9 \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 7 = 9 x + 9 \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$y + 7 = 9 x + 9$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 9 x + 9 - 7$

Paso 2.3.2.2

Resta $7$ de $9$ .

$y = 9 x + 2$

Paso 3