Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $(2, \frac{1}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{4}$ y un punto dado $(2, \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{- 1}{2}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- - 1}{2}$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x}{4} + \frac{1 + 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{- x}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.4.2

Divide $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{4} + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{4} x) + 1$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{4} x + 1$

Paso 3