Cálculo Ejemplos

$e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

Paso 1

Escribe $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ como una ecuación.

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.6

Multiplica $\cos (0)$ por $1$ .

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

Paso 2.6.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 1 + \cos (0)$

Paso 2.6.1.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 1 + 1$

Paso 2.6.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.6.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$1 + 1$

Paso 2.6.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = 2 x$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x + 1$

Paso 4