Cálculo Ejemplos

$y = x^{\cos (x)}$ , $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{\cos (1)}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(1)}^{\cos (1)}$ .

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Paso 1.2.3.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$y = 1^{0.99984769}$

Paso 1.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1.1

Reescribe $x^{\cos (x)}$ como $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

Paso 2.1.2

Expande $\ln (x^{\cos (x)})$ ; para ello, mueve $\cos (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.5

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 2.6

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Paso 2.7.2

Combina $e^{\cos (x) \ln (x)}$ y $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

Paso 2.7.3

Reordena los términos.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Paso 2.8

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.1.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.2

Simplifica $0.99984769 \ln (1)$ al mover $0.99984769$ dentro del algoritmo.

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.6

Evalúa $\sin (1)$ .

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.7

Multiplica $- 1$ por $0.0174524$ .

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.8

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.9

Multiplica $- 0.0174524$ por $0$ .

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Paso 2.9.1.10

Divide $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ por $1$ .

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

Paso 2.9.1.11

Evalúa $\cos (1)$ .

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

Paso 2.9.1.12

Simplifica $0.99984769 \ln (1)$ al mover $0.99984769$ dentro del algoritmo.

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

Paso 2.9.1.13

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

Paso 2.9.1.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 1 \cos (1)$

Paso 2.9.1.15

Multiplica $\cos (1)$ por $1$ .

$0 + \cos (1)$

Paso 2.9.1.16

Evalúa $\cos (1)$ .

$0 + 0.99984769$

Paso 2.9.2

Suma $0$ y $0.99984769$ .

$0.99984769$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $0.99984769$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $0.99984769 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $0.99984769$ por $- 1$ .

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 0.99984769$ y $1$ .

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

Paso 4