Cálculo Ejemplos

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $1 + 11 x^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 11 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.6

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x^{2}$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.7

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.9

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.8

Resta $22 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.9

Combina $6$ y $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Multiplica $- 11$ por $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Paso 1.10.3

Reordena los términos.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.1.2

Multiplica $- 66$ por $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.1.3

Suma $- 66$ y $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2.2

Multiplica $11$ por $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2.3

Suma $11$ y $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Paso 1.12.2.4

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Paso 1.12.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.12.3.1

Cancela el factor común de $- 60$ y $144$ .

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Paso 1.12.3.1.1

Factoriza $12$ de $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Paso 1.12.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.12.3.1.2.1

Factoriza $12$ de $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Paso 1.12.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Paso 1.12.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{12}$

Paso 1.12.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{12}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{5}{12}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{5}{12}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Paso 2.3.2.5

Suma $5$ y $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Paso 3