Cálculo Ejemplos

$y = e^{5 x}$ at $x = \frac{1}{5} \ln (2)$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ por $x$ .

$y = e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$

Paso 1.2

Simplifica $e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica $\frac{1}{5} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{5}$ dentro del algoritmo.

$y = e^{5 \ln (2^{\frac{1}{5}})}$

Paso 1.2.2

Simplifica $5 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$y = e^{\ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Paso 1.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y = {(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Paso 1.2.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 1.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$y = 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 2^{1}$

Paso 1.2.5

Evalúa el exponente.

$y = 2$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{1}{5} \ln (2)$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1)$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5$

Paso 2.2.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{1}{5} \cdot \ln (2)$ .

$5 e^{5 (\frac{1}{5} \cdot \ln (2))}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica $\frac{1}{5} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{5}$ dentro del algoritmo.

$5 e^{5 \ln (2^{\frac{1}{5}})}$

Paso 2.4.2

Simplifica $5 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$5 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{5})}$

Paso 2.4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$5 {(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Paso 2.4.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 2.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 2.4.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$5 \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 2.4.4.2.2

Reescribe la expresión.

$5 \cdot 2^{1}$

Paso 2.4.5

Evalúa el exponente.

$5 \cdot 2$

Paso 2.4.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$10$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $10$ y un punto dado $(\frac{1}{5} \cdot \ln (2), 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 10 \cdot (x - (\frac{1}{5} \cdot \ln (2)))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = 10 \cdot (x - \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = 10 x + 10 (- \ln (2^{\frac{1}{5}}))$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $10 (- \ln (2^{\frac{1}{5}}))$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$y - 2 = 10 x - 10 \ln (2^{\frac{1}{5}})$

Paso 3.3.1.4.2

Simplifica $- 10 \ln (2^{\frac{1}{5}})$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$y - 2 = 10 x - \ln ({(2^{\frac{1}{5}})}^{10})$

Paso 3.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{5}})}^{10}$ .

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Paso 3.3.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot 10})$

Paso 3.3.1.5.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.5.1.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot (5 (2))})$

Paso 3.3.1.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 2)})$

Paso 3.3.1.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y - 2 = 10 x - \ln (2^{2})$

Paso 3.3.1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y - 2 = 10 x - \ln (4)$

Paso 3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10 x - \ln (4) + 2$

Paso 4