Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ , $(3, 10)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 10$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x - 6 + 0$

Paso 1.4.2

Suma $6 x - 6$ y $0$ .

$6 x - 6$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$6 (3) - 6$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$18 - 6$

Paso 1.6.2

Resta $6$ de $18$ .

$12$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $12$ y un punto dado $(3, 10)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (10) = 12 \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 10 = 12 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $12 \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 10 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 10 = 12 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 10 = 12 x + 12 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$y - 10 = 12 x - 36$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 12 x - 36 + 10$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 36$ y $10$ .

$y = 12 x - 26$

Paso 3