Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 6$ , $(2, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (6)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Paso 1.2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Paso 1.2.5.3

Reordena los términos.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Paso 1.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Paso 1.5.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 y'$ de $2 x y' - 2 y y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ por $2 (x - y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ por $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $x - y$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.3

Para escribir $\frac{- x - y}{x - y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - y) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.3.4.1

Multiplica $\frac{- x - y}{x - y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.4.2

Reordena los factores de $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.3.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.5.3.3.7.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.7.6.1

Reescribe $- (2 x + 2 y + 1)$ como $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Paso 1.5.3.3.7.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 4$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{2 (2) + 2 y + 1}{2 ((2) - y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{2 (2) + 2 (4) + 1}{2 ((2) - (4))}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4 + 2 (4) + 1}{2 (2 - (4))}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{4 + 8 + 1}{2 (2 - (4))}$

Paso 1.7.3.3

Suma $4$ y $8$ .

$- \frac{12 + 1}{2 (2 - (4))}$

Paso 1.7.3.4

Suma $12$ y $1$ .

$- \frac{13}{2 (2 - (4))}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- \frac{13}{2 (2 - 4)}$

Paso 1.7.4.2

Resta $4$ de $2$ .

$- \frac{13}{2 \cdot - 2}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{13}{- 4}$

Paso 1.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{13}{4}$

Paso 1.7.6

Multiplica $- - \frac{13}{4}$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{13}{4})$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $\frac{13}{4}$ por $1$ .

$\frac{13}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{13}{4}$ y un punto dado $(2, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{13}{4} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{13}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{13}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{13}{4} x + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{13}{4}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{13}{2}$ y $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{13 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$y - 4 = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13}{2}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{13}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 4 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 13 + 8}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 13$ y $8$ .

$y = \frac{13 x}{4} + \frac{- 5}{2}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{13 x}{4} - \frac{5}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{13}{4} x - \frac{5}{2}$

Paso 3