Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sin (x)}$ , $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{\sin (1)}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(1)}^{\sin (1)}$ .

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Paso 1.2.3.1

Evalúa $\sin (1)$ .

$y = 1^{0.0174524}$

Paso 1.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1.1

Reescribe $x^{\sin (x)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Paso 2.1.2

Expande $\ln (x^{\sin (x)})$ ; para ello, mueve $\sin (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 2.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Paso 2.7.2

Combina $e^{\sin (x) \ln (x)}$ y $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Paso 2.7.3

Reordena los términos.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Paso 2.8

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$e^{\sin (1) \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.1.1

Evalúa $\sin (1)$ .

$e^{0.0174524 \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.2

Simplifica $0.0174524 \ln (1)$ al mover $0.0174524$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln (1^{0.0174524})} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$1^{0.0174524} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.5

Multiplica $\cos (1)$ por $1$ .

$\cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.6

Evalúa $\cos (1)$ .

$0.99984769 \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.7

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0.99984769 \cdot 0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.8

Multiplica $0.99984769$ por $0$ .

$0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Paso 2.9.1.9

Divide $e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$ por $1$ .

$0 + e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$

Paso 2.9.1.10

Evalúa $\sin (1)$ .

$0 + e^{0.0174524 \ln (1)} \sin (1)$

Paso 2.9.1.11

Simplifica $0.0174524 \ln (1)$ al mover $0.0174524$ dentro del algoritmo.

$0 + e^{\ln (1^{0.0174524})} \sin (1)$

Paso 2.9.1.12

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$0 + 1^{0.0174524} \sin (1)$

Paso 2.9.1.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 + 1 \sin (1)$

Paso 2.9.1.14

Multiplica $\sin (1)$ por $1$ .

$0 + \sin (1)$

Paso 2.9.1.15

Evalúa $\sin (1)$ .

$0 + 0.0174524$

Paso 2.9.2

Suma $0$ y $0.0174524$ .

$0.0174524$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $0.0174524$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.0174524 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $0.0174524 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 0.0174524 x + 0.0174524 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $0.0174524$ por $- 1$ .

$y - 1 = 0.0174524 x - 0.0174524$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 0.0174524 x - 0.0174524 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 0.0174524$ y $1$ .

$y = 0.0174524 x + 0.98254759$

Paso 4