Cálculo Ejemplos

$x^{3} + y^{3} = 36 x y$ ; $(18, 18)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 18$ y $y = 18$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (36 x y)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x y$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$36 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$36 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$36 (x y' + y \cdot 1)$

Paso 1.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$36 (x y' + y)$

Paso 1.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$36 x y' + 36 y$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 36 x y' + 36 y$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $36 x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y$

Paso 1.5.2

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y' - 36 x y'$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 36 x y' = 36 y - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $3 y'$ de $- 36 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 12 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 12 x)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $3 y' (y^{2} - 12 x) = 36 y - 3 x^{2}$ por $3 (y^{2} - 12 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (y^{2} - 12 x)}{3 (y^{2} - 12 x)} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} - 12 x$ .

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Paso 1.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - 12 x)}{y^{2} - 12 x} = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{36 y}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $36$ y $3$ .

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Paso 1.5.4.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $36 y$ .

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (12 y)}{3 (y^{2} - 12 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3.1.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.5.4.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 12 x)}$

Paso 1.5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Paso 1.5.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{12 y}{y^{2} - 12 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Paso 1.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 y - x^{2}}{y^{2} - 12 x}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 18$ y $y = 18$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $18$ en la expresión.

$\frac{12 y - {(18)}^{2}}{y^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $18$ en la expresión.

$\frac{12 (18) - {(18)}^{2}}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común de $12 (18) - {(18)}^{2}$ y ${(18)}^{2} - 12 \cdot 18$ .

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Paso 1.7.3.1

Reordena los términos.

$\frac{- {(18)}^{2} + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3.2

Factoriza $18$ de $- {(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 12 \cdot 18}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3.3

Factoriza $18$ de $12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3.4

Factoriza $18$ de $18 (- 1 \cdot 18) + 18 \cdot 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{{(18)}^{2} - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.5.1

Factoriza $18$ de ${(18)}^{2}$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 - 12 \cdot 18}$

Paso 1.7.3.5.2

Factoriza $18$ de $- 12 \cdot 18$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12}$

Paso 1.7.3.5.3

Factoriza $18$ de $18 \cdot 18 + 18 \cdot - 12$ .

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Paso 1.7.3.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{18 (- 1 \cdot 18 + 12)}{18 \cdot (18 - 12)}$

Paso 1.7.3.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot 18 + 12}{18 - 12}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $- 1 \cdot 18 + 12$ y $18 - 12$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $6$ de $- 1 \cdot 18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 12}{18 - 12}$

Paso 1.7.4.2

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)}{18 - 12}$

Paso 1.7.4.3

Factoriza $6$ de $6 (- 1 \cdot 3) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{18 - 12}$

Paso 1.7.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.4.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 (3) - 12}$

Paso 1.7.4.4.2

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2}$

Paso 1.7.4.4.3

Factoriza $6$ de $6 \cdot 3 + 6 \cdot - 2$ .

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Paso 1.7.4.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- 1 \cdot 3 + 2)}{6 \cdot (3 - 2)}$

Paso 1.7.4.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3 - 2}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $- 1 \cdot 3 + 2$ y $3 - 2$ .

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Paso 1.7.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{- 1 (3) + 2}{3 - 2}$

Paso 1.7.5.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- 2)}{3 - 2}$

Paso 1.7.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Paso 1.7.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (3 - 2)}{3 - 2}$

Paso 1.7.5.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(18, 18)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (18) = - 1 \cdot (x - (18))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 18)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 18 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 18)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 18 = - 1 \cdot (x - 18)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 18 = - 1 x - 1 \cdot - 18$

Paso 2.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 18 = - x - 1 \cdot - 18$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$y - 18 = - x + 18$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 18 + 18$

Paso 2.3.2.2

Suma $18$ y $18$ .

$y = - x + 36$

Paso 3