Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{3} - 8 x$ , $(2, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$6 {(2)}^{2} - 8$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 \cdot 4 - 8$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 - 8$

Paso 1.5.2

Resta $8$ de $24$ .

$16$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $16$ y un punto dado $(2, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 16 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 16 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 16 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.2

Simplifica $16 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 16 x + 16 \cdot - 2$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$y = 16 x - 32$

Paso 3