Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Paso 1.2.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{1}{27}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ como ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Paso 2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Paso 2.5

Combina los términos.

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Paso 2.5.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Paso 2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Paso 2.5.3

Combina $x$ y $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Paso 2.7.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Paso 2.7.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Paso 2.7.3

Cancela el factor común de $12$ y $81$ .

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Paso 2.7.3.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Paso 2.7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.3.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Paso 2.7.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Paso 2.7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{27}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{4}{27}$ y un punto dado $(2, \frac{1}{27})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Paso 3.3.1.5.2

Combina $2$ y $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Paso 3.3.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{1}{27}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Paso 3.3.2.3

Suma $8$ y $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Paso 3.3.2.4

Divide la fracción $\frac{- 4 x + 9}{27}$ en dos fracciones.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Paso 3.3.2.5.2

Cancela el factor común de $9$ y $27$ .

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Paso 3.3.2.5.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Paso 3.3.2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.5.2.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Paso 4