Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Paso 1.2.3

Simplifica $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Paso 1.2.3.2.2

Suma $- 4$ y $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Paso 1.2.3.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 2 \cdot 1$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Paso 2.3.9

Multiplica ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ por $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Paso 2.4

Factoriza ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Paso 2.4.2

Factoriza ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Paso 2.4.3

Factoriza ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.2.1

Resta $8$ de $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6.2.2

Suma $- 4$ y $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.6.2.4

Multiplica $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ por $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3.3

Multiplica $2 (8 \cdot 0)$ .

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Paso 2.6.3.3.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3.3.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Paso 2.6.3.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Paso 2.6.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.6.4.1

Suma $0$ y $4$ .

$4 - 8 + 5$

Paso 2.6.4.2

Resta $8$ de $4$ .

$- 4 + 5$

Paso 2.6.4.3

Suma $- 4$ y $5$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(2, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x - 2 + 2$

Paso 3.3.2.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$y = x + 0$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 4