Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Reescribe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Paso 2.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Paso 2.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Paso 2.6.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.6.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Paso 2.6.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{2}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Paso 3.3.2.4

Divide la fracción $\frac{- x + 2}{2}$ en dos fracciones.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 3.3.2.5.2

Divide $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Paso 4