Cálculo Ejemplos

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Reescribe la ecuación como $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $4 y^{3} y' = 2 x$ por $4 y^{3}$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $4 y^{3} y' = 2 x$ por $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 9$ y $y = 3$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $3$ en la expresión.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Paso 1.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{9}{54}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $9$ y $54$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Paso 1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.2.1

Factoriza $9$ de $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Paso 1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Paso 1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{6}$ y un punto dado $(9, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Paso 3