Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{4})$ , $(- 1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{4})]$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $\ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{4})}{2}]$

Paso 1.1.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x \ln (x^{4})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.2

Combina $\frac{4}{x^{3}}$ y $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.4.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.3.2

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Paso 1.4.6

Multiplica $\ln (x^{4})$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 + \ln (x^{4}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 + \frac{1}{2} \ln (x^{4})$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (x^{4}) + 2$

Paso 1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{4})$ .

$\frac{\ln (x^{4})}{2} + 2$

Paso 1.5.4.2

Expande $\ln (x^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\frac{4 \ln (x)}{2} + 2$

Paso 1.5.4.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.5.4.3.1

Factoriza $2$ de $4 \ln (x)$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2} + 2$

Paso 1.5.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 (1)} + 2$

Paso 1.5.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \ln (x))}{2 \cdot 1} + 2$

Paso 1.5.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \ln (x)}{1} + 2$

Paso 1.5.4.3.2.4

Divide $2 \ln (x)$ por $1$ .

$2 \ln (x) + 2$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$2 \ln (- 1) + 2$

Paso 1.7

El logaritmo natural de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 2

La pendiente de la recta es indefinida, lo que significa que es perpendicular al eje x en $x = - 1$ .

$x = - 1$

Paso 3