Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{3} + 1}$ como ${(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 0)$

Paso 1.11

Combina fracciones.

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Paso 1.11.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

Paso 1.11.2

Combina $3$ y $\frac{1}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

Paso 1.11.3

Combina $\frac{3}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{3 {(2)}^{2}}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.2.1

Factoriza $2$ de $2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 ({({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 {({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 2}{{({(2)}^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{{(2^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.13.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{6}{{(8 + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.4.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.4.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.4.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.13.4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.4.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{3^{1}}$

Paso 1.13.4.6

Evalúa el exponente.

$\frac{6}{3}$

Paso 1.13.5

Divide $6$ por $3$ .

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(2, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y - 3 = 2 x - 4$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 4 + 3$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 4$ y $3$ .

$y = 2 x - 1$

Paso 3