Cálculo Ejemplos

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - y - 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Paso 1.2.5

Suma $1 - y'$ y $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Paso 1.2.6.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.6.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Paso 1.2.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Reordena los factores en $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Paso 1.5.2

Resta $3 {(x - y - 1)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de ${(x - y - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Para escribir $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.2

Para escribir $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.5.3.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.5.3.3.3.3

Multiplica $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.5.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = - 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $- 1$ en la expresión.

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.3.6

Resta $3$ de $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.4.2

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

Paso 1.7.4.3

Resta $1$ de $2$ .

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

Paso 1.7.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Paso 1.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2}{3}$

Paso 1.7.6

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{3}$ y un punto dado $(1, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

Paso 3