Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(18, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 18$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.12.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Evalúa la derivada en $x = 18$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(18)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ y un punto dado $(18, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - (18))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot (x - 18)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} \cdot - 18$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$ y $- 18$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve $18^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18 \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.3

Multiplica $18$ por $18^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.3.1

Multiplica $18$ por $18^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.1.3.3.1.1

Eleva $18$ a la potencia de $1$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1} \cdot 18^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - \frac{18^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.1.3.4

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(\frac{18}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.1.3.5

Divide $18$ por $2$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 9^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.1.3.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.1.3.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.3.1.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.8.1

Cancela el factor común.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.3.1.3.8.2

Reescribe la expresión.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3^{1}$

Paso 2.3.1.3.9

Evalúa el exponente.

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 3$

Paso 2.3.1.3.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y - 6 = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} - 3 + 6$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$y = \frac{x}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} + 3$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 18^{\frac{1}{2}}} x + 3$

Paso 3