Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{4}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Paso 1.3

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.5.4.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.5

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Paso 1.5.7

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 1.5.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $4$ y un punto dado $(\frac{π}{4}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Paso 2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Paso 2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y - 1 = 4 x - π$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x - π + 1$

Paso 3