Cálculo Ejemplos

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y^{2}$ ; $(3, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y^{2})$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Paso 1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 1.2.6.2

Reordena los factores de $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$100 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$100 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$100 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$100 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 1.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 1.3.8

Simplifica.

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Paso 1.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$100 (2 x y y') + 100 y^{2}$

Paso 1.3.8.2

Multiplica $2$ por $100$ .

$200 x y y' + 100 y^{2}$

Paso 1.3.8.3

Reordena los términos.

$100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

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Paso 1.5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.3

Expande $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.5

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.6

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.7

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1.4.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.7.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.1.4.8

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Paso 1.5.2

Resta $200 x y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2}$

Paso 1.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.3.1

Resta $12 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3}$

Paso 1.5.3.2

Resta $12 x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.4

Factoriza $4 y y'$ de $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y'$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $4 y y'$ de $12 y y' x^{2}$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $4 y y'$ de $12 y^{3} y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $4 y y'$ de $- 200 x y y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.4.4

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.4.5

Factoriza $4 y y'$ de $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x)$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Paso 1.5.5

Divide cada término en $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ y simplifica.

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Paso 1.5.5.1

Divide cada término en $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.2.3

Cancela el factor común de $3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x$ .

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Paso 1.5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

Paso 1.5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $100$ y $4$ .

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Paso 1.5.5.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $100 y^{2}$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.5.5.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.3

Cancela el factor común de $- 12$ y $4$ .

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Paso 1.5.5.3.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.3.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.5

Cancela el factor común de $- 12$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Paso 1.5.5.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Paso 1.5.5.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.6

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.6.1

Factoriza $y$ de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.3.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.2

Para escribir $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.5.3.3.1

Multiplica $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.3.2

Reordena los factores de $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{25 y \cdot y - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.5.1

Mueve $y$ .

$y' = \frac{25 (y \cdot y) - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Paso 1.5.5.3.6

Para escribir $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 1.5.5.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.5.3.7.1

Multiplica $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y}$

Paso 1.5.5.3.7.2

Reordena los factores de $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.9

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.3.9.1

Mueve $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.5.5.3.9.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 3$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$\frac{25 y^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot y^{2}}{y (3 {(3)}^{2} + 3 y^{2} - 50 \cdot 3)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{(1) (3 {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Paso 1.7.3

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Paso 1.7.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1} {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Paso 1.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1 + 2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Paso 1.7.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Paso 1.7.4

Multiplica $3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3$ por $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{25 \cdot 1 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $25$ por $1$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 27 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.4

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$\frac{25 - 81 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.7

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$\frac{25 - 81 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.8

Resta $81$ de $25$ .

$\frac{- 56 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.5.9

Resta $9$ de $- 56$ .

$\frac{- 65}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.6.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.6.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1 - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.6.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 50 \cdot 3}$

Paso 1.7.6.4

Multiplica $- 50$ por $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 150}$

Paso 1.7.6.5

Suma $27$ y $3$ .

$\frac{- 65}{30 - 150}$

Paso 1.7.6.6

Resta $150$ de $30$ .

$\frac{- 65}{- 120}$

Paso 1.7.7

Cancela el factor común de $- 65$ y $- 120$ .

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Paso 1.7.7.1

Factoriza $- 5$ de $- 65$ .

$\frac{- 5 (13)}{- 120}$

Paso 1.7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.7.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 120$ .

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Paso 1.7.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Paso 1.7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{24}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{13}{24}$ y un punto dado $(3, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{13}{24} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{13}{24} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = \frac{13}{24} x + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{13}{24}$ y $x$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $3$ de $24$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 (8)} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{8} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{13}{8}$ y $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13 \cdot - 1}{8}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13}{8}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + \frac{8}{8}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13 + 8}{8}$

Paso 2.3.2.4

Suma $- 13$ y $8$ .

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 5}{8}$

Paso 2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{5}{8}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{13}{24} x - \frac{5}{8}$

Paso 3