Cálculo Ejemplos

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = - 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y - 2 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Paso 1.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Paso 1.3

Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 14$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Paso 1.5.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Paso 1.5.2

Factoriza $y'$ de $2 x y' + y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Paso 1.5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Paso 1.5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ por $2 x + 1$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ por $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 y + 2$ .

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Paso 1.5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.6.1

Reescribe $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Paso 1.5.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = - 2$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $- 2$ en la expresión.

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.3

Resta $1$ de $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Paso 1.7.4.2

Suma $4$ y $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Paso 1.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{6}{5}$

Paso 1.7.6

Multiplica $- - \frac{6}{5}$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$\frac{6}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{6}{5}$ y un punto dado $(2, - 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{6}{5}$ y $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{6}{5}$ y $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $10$ de $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Paso 3