Cálculo Ejemplos

$f (x) = 25 - x^{2}$ , $(5, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.3

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$- 2 \cdot 5$

Paso 1.5

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$- 10$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 10$ y un punto dado $(5, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 10 \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = - 10 \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = - 10 \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.2

Simplifica $- 10 \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 10 x - 10 \cdot - 5$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 10$ por $- 5$ .

$y = - 10 x + 50$

Paso 3