Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Paso 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.10.2

Resta $3$ de $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.12

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.13

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.14.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.14.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.14.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.14.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.15

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.16

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.17

Combina $- 5$ y $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.18

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 1.6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 1.6.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Paso 1.6.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Paso 1.6.1.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Paso 1.6.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- - \frac{10}{3}$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Paso 1.6.1.4.2

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Paso 1.6.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Paso 1.6.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Paso 1.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Paso 1.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Paso 1.6.5.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{7}{3}$ y un punto dado $(- 1, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{7}{3}$ y $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $6$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $7$ y $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Paso 3