Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{x + 3}$ , $(0, \frac{1}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = \frac{1}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x e^{x} + 3 e^{x} - e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4.2

Resta $e^{x}$ de $3 e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4.3

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) + 2 e^{x}}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4.4.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{e^{0} ((0) + 2)}{{((0) + 3)}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{e^{0} \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 \cdot 2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{{(0 + 3)}^{2}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{2}{3^{2}}$

Paso 1.6.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{9}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{9}$ y un punto dado $(0, \frac{1}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Combina $\frac{2}{9}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{3} = \frac{2 x}{9}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{9} + \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{9} x + \frac{1}{3}$

Paso 3