Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Paso 1.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(1)}^{4}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{2 \cdot 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{2}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2})$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 x + 3 + 1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$y = \frac{- 3 x + 4}{2}$

Paso 2.3.2.4

Divide la fracción $\frac{- 3 x + 4}{2}$ en dos fracciones.

$y = \frac{- 3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{4}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Divide $4$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 2$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 2$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} x + 2$

Paso 3