Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{3} = y^{2} - 2$ ;, $(1, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} - 2)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Paso 1.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 y y' + 0$

Paso 1.3.3.2

Suma $2 y y'$ y $0$ .

$2 y y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 y y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $2 y y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 y y' = 0$

Paso 1.5.2

Resta $2 y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Paso 1.5.3

Factoriza $y y'$ de $3 x^{2} y^{2} y' - 2 y y'$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y y'$ de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) - 2 y y' = - 2 y^{3} x$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y y'$ de $- 2 y y'$ .

$y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2 = - 2 y^{3} x$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y y'$ de $y y' (3 x^{2} y) + y y' \cdot - 2$ .

$y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ por $y (3 x^{2} y - 2)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y y' (3 x^{2} y - 2) = - 2 y^{3} x$ por $y (3 x^{2} y - 2)$ .

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (3 x^{2} y - 2)}{y (3 x^{2} y - 2)} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común de $3 x^{2} y - 2$ .

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Paso 1.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 x^{2} y - 2)}{3 x^{2} y - 2} = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} x}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y$ .

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Paso 1.5.4.3.1.1

Factoriza $y$ de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x)}{y (3 x^{2} y - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Paso 1.5.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{3 x^{2} y - 2}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = - 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{2 y^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} y - 2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $- 1$ en la expresión.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2} (1)}{3 {(1)}^{2} (- 1) - 2}$

Paso 1.7.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1^{2} \cdot - 1 - 2}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot 1 \cdot - 1 - 2}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $3 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{3 \cdot - 1 - 2}$

Paso 1.7.4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 3 - 2}$

Paso 1.7.4.3

Resta $2$ de $- 3$ .

$- \frac{2 {(- 1)}^{2}}{- 5}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{- 5}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{- 5}$

Paso 1.7.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{2}{5}$

Paso 1.7.6

Multiplica $- - \frac{2}{5}$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{5})$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{2}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{5}$ y un punto dado $(1, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{5} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = \frac{2}{5} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{2}{5}$ y $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 1}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 1 = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 2 - 5}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $5$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{7}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{5} x - \frac{7}{5}$

Paso 3