Cálculo Ejemplos

$y = \frac{25}{x^{2}}$ at the point $(5, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{25}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$25 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$25 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.4

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$- 50 x^{- 3}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $- 50$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 50}{x^{3}}$

Paso 1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{50}{x^{3}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$- \frac{50}{{(5)}^{3}}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{50}{125}$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de $50$ y $125$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$- \frac{25 (2)}{125}$

Paso 1.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.2.1

Factoriza $25$ de $125$ .

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 1.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 5}$

Paso 1.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{2}{5}$ y un punto dado $(5, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2}{5} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{2}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1))$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2$

Paso 2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x}{5} + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 3$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 3$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{5} x + 3$

Paso 3