Cálculo Ejemplos

$y = \sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ , $(0, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (8 x) + \sin^{2} (8 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $8 x$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$\cos (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.2.5

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (8 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (8 x)$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 \cos (8 x) + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\cos (u_{3})$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $8 x$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.3.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (\cos (8 x) \cdot 8)$

Paso 1.3.6

Mueve $8$ a la izquierda de $\cos (8 x)$ .

$8 \cos (8 x) + 2 \sin (8 x) (8 \cdot \cos (8 x))$

Paso 1.3.7

Multiplica $8$ por $2$ .

$8 \cos (8 x) + 16 \sin (8 x) \cos (8 x)$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$16 \cos (8 x) \sin (8 x) + 8 \cos (8 x)$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$16 \cos (8 (0)) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $8$ por $0$ .

$16 \cos (0) \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$16 \cdot 1 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$16 \sin (8 (0)) + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $8$ por $0$ .

$16 \sin (0) + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$16 \cdot 0 + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.6

Multiplica $16$ por $0$ .

$0 + 8 \cos (8 (0))$

Paso 1.6.1.7

Multiplica $8$ por $0$ .

$0 + 8 \cos (0)$

Paso 1.6.1.8

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Paso 1.6.1.9

Multiplica $8$ por $1$ .

$0 + 8$

Paso 1.6.2

Suma $0$ y $8$ .

$8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $8$ y un punto dado $(0, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 8 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 8 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 8 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = 8 x$

Paso 3