Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ ; , $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{\sqrt{1}}$

Paso 1.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1 + \frac{2}{1}$

Paso 1.2.2.3

Divide $2$ por $1$ .

$y = 1 + 2$

Paso 1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$y = 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 2.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 2.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 2.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 2.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.3.13

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Paso 2.3.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.14.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Paso 2.3.14.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.14.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Paso 2.3.14.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 2.3.15

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.3.16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.17

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.18

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.19.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 2.3.19.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2 \cdot 1} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.6.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Paso 2.6.1.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{1}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Paso 2.6.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.6.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 2.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Paso 2.6.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 2.6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{2}$ y un punto dado $(1, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y - 3 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 6}{2}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $1$ y $6$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{7}{2}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Paso 4