Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{6 x}{x + 5}$ at $(- 3, - 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 3$ y $y = - 9$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6 x}{x + 5}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 5$ .

$6 \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$6 \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$6 \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.4

Suma $0$ y $5$ .

$6 \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.5

Combina $6$ y $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.6

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{30}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - 3$ .

$\frac{30}{{((- 3) + 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.1.1

Suma $- 3$ y $5$ .

$\frac{30}{2^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{30}{4}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $30$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$\frac{2 (15)}{4}$

Paso 1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{15}{2}$ y un punto dado $(- 3, - 9)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 9) = \frac{15}{2} \cdot (x - (- 3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{15}{2} \cdot (x + 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 9 = 0 + 0 + \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 9 = \frac{15}{2} \cdot (x + 3)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 9 = \frac{15}{2} x + \frac{15}{2} \cdot 3$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{15}{2}$ y $x$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15}{2} \cdot 3$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{15}{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{15}{2}$ y $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{15 \cdot 3}{2}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $15$ por $3$ .

$y + 9 = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- 9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 9$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 9 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{45 - 18}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $18$ de $45$ .

$y = \frac{15 x}{2} + \frac{27}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$

Paso 3