Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4}$ at $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot 1$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = \frac{1}{6}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{6} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3})$

Paso 2.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3}$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{4}{6}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6}$

Paso 2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{3}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{3}}{3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Paso 2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{2}{3}$ y un punto dado $(- 1, \frac{1}{6})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 3.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Paso 3.3.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 3.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $\frac{1}{6}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- \frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 2 + 1}{6}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 1}{6}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{6}$

Paso 3.3.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.6.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 3.3.2.6.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (- 1)}{6}$

Paso 3.3.2.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.6.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Paso 4