Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - x + 4$ at $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Paso 1.2

Simplifica $- {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - (- 1) + 4$

Paso 1.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = {(- 1)}^{1 + 2} - (- 1) + 4$

Paso 1.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = {(- 1)}^{3} - (- 1) + 4$

Paso 1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$y = - 1 - (- 1) + 4$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 1 + 1 + 4$

Paso 1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.2.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$y = 0 + 4$

Paso 1.2.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$y = 4$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} - x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x - 1 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 2 x - 1$ y $0$ .

$- 2 x - 1$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 2 \cdot - 1 - 1$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 - 1$

Paso 2.6.2

Resta $1$ de $2$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(- 1, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 1 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$y - 4 = x + 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x + 1 + 4$

Paso 3.3.2.2

Suma $1$ y $4$ .

$y = x + 5$

Paso 4