Cálculo Ejemplos

$y^{2} = x^{3} - 4 x + 1$ at $(- 2, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 x + 1)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia.

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Paso 1.3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 4 + 0$

Paso 1.3.3.2

Suma $3 x^{2} - 4$ y $0$ .

$3 x^{2} - 4$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = 3 x^{2} - 4$

Paso 1.5

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} - 4$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 4}{2 y}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Paso 1.5.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Paso 1.5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Paso 1.5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 2$ y $y = 1$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 y} - \frac{2}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Cancela el factor común de ${(- 2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 1.7.3.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 {(- 1 (2))}^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (2)$ .

$\frac{3 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 (1 \cdot 2^{2})}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.4

Multiplica $2^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2}}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.5

Factoriza $2$ de $3 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 (1)} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 \cdot 2)}{2 \cdot 1} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 2}{1} - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.1.6.3

Divide $3 \cdot 2$ por $1$ .

$3 \cdot 2 - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 - \frac{2}{1}$

Paso 1.7.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$6 - 1 \cdot 2$

Paso 1.7.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 - 2$

Paso 1.7.4

Resta $2$ de $6$ .

$4$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $4$ y un punto dado $(- 2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $4 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 4 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 4 x + 4 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$y - 1 = 4 x + 8$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x + 8 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$y = 4 x + 9$

Paso 3