Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{5 x + 75}$ , $(5, 10)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 10$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 75}$ como ${(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 75$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 75$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 75$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(5 x + 75)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 75]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 75$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [75])$

Paso 1.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [75])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [75])$

Paso 1.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [75])$

Paso 1.12

Como $75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $75$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Paso 1.13

Combina fracciones.

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Paso 1.13.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Paso 1.13.2

Combina $\frac{1}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$\frac{5}{2 {(5 (5) + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.15.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5}{2 {(25 + 75)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.2

Suma $25$ y $75$ .

$\frac{5}{2 \cdot 100^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.3

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot {(10^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 10^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{2 \cdot 10^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{2 \cdot 10^{1}}$

Paso 1.15.1.6

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{2 \cdot 10}$

Paso 1.15.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.15.2.1

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{5}{20}$

Paso 1.15.2.2

Cancela el factor común de $5$ y $20$ .

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Paso 1.15.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{20}$

Paso 1.15.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.15.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}$

Paso 1.15.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 4}$

Paso 1.15.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{4}$ y un punto dado $(5, 10)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (10) = \frac{1}{4} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 10 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 10 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 10 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 10 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y - 10 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 5$ .

$y - 10 = \frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 10 = \frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 10$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 10 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina $10$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 10 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $10$ por $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 40}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 5$ y $40$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{35}{4}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{35}{4}$

Paso 3