Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(9, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe el lado izquierdo con exponentes racionales.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Paso 1.2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Paso 1.3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 1.3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Paso 1.3.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Paso 1.3.3.9

Combina $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Paso 1.3.3.10

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.4

Simplifica.

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Paso 1.3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.6

Resuelve $y'$

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Paso 1.6.1

Resta $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.2

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3

Simplifica.

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Paso 1.6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.3.1.1

Simplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 1.6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.3.2.1

Simplifica $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 1.6.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.2.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.6.3.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.6.3.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.6.3.2.1.2

Combina $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8

Evalúa $x = 9$ y $y = 4$ .

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Paso 1.8.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}}}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.3.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2^{1}}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.3.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{2}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{2}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.8.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.8.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.4.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.8.4.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{3^{1}}$

Paso 1.8.4.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{2}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{2}{3}$ y un punto dado $(9, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (9))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot - 9$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (- 3))$

Paso 2.3.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} - 2 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2.4

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 2}{3} + 6$

Paso 2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 4 = - \frac{2 x}{3} + 6$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 x}{3} + 6 + 4$

Paso 2.3.2.2

Suma $6$ y $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + 10$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2}{3} x) + 10$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2}{3} x + 10$

Paso 3