Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(8, \frac{1}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 8$ y $y = \frac{1}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Paso 1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 8$ .

$- \frac{2}{{(8)}^{2}}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2}{64}$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común de $2$ y $64$ .

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{64}$

Paso 1.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Paso 1.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Paso 1.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{32}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{32}$ y un punto dado $(8, \frac{1}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{4}) = - \frac{1}{32} \cdot (x - (8))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{32} \cdot (x - 8)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{32} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{1}{32} x - \frac{1}{32} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{32}$ .

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} - \frac{1}{32} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{32}$ al numerador.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{32} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $8$ de $32$ .

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 (4)} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.5.3

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 \cdot 4} \cdot (8 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{8 \cdot 4} \cdot (8 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{- 1}{4}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{- - 1}{4}$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = - \frac{x}{32} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x}{32} + \frac{1 + 1}{4}$

Paso 2.3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{- x}{32} + \frac{2}{4}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2}{4}$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 (1)}{4}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x}{32} + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{32} x) + \frac{1}{2}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{32} x + \frac{1}{2}$

Paso 3